今宵も話半分で…

ふた桁のかけ算の、すごい法則

   

Photo:maths By:Sean MacEntee

Photo:maths By Sean MacEntee

どうも。らいぱちです。

世の中には、想像するよりもシステマチックにシンプルなときがあります。
それがすごい法則

計算するときにちょっと使えるすごい法則がありました。


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2乗がカンタンに計算できる「おみやげ暗算法」

同じ数字を掛け合わせる2乗のかけ算。

ひと桁だったら九九ができれば一発です。
ふた桁でも19くらいまでなら暗記してしまっている人もいるんじゃないでしょうか。

でもそれ以上になるとちょっと覚えていられない。
たとえば「35×35」。

ぱっと見ただけではわかりません。

そんなときに使えるのがおみやげ暗算法
1の位の数字をやりとりして(おみやげを渡す感覚らしいです)、計算を簡単にします。

具体的には、「35×35」の場合。

片方の「35」の1の位の数字「5」を、もう片方に移動させ、
「40×30」を計算します。「40×30=1200」ですね。

そして、この答えの「1200」に、ここがポイント移動させた分の2乗を足します
つまりここでは「1200に、5の2乗を足します」。

すると「1200+5×5=1225」。これでできあがりです。

おみやげ暗算法の仕組みは…

仕組みはこんな感じです。(数式の書き方がわからない…)
2乗の計算式を記号化するととして計算式Aは
(10x+y)×(10x+y)=(100xの2乗)+20xy+(yの2乗)

それに対して、1の位の数字をやりとりする計算式Bは
(10x+y+y)×10x = (100xの2乗)+20xy

計算式Aと計算式Bの差を見ると
(計算式A)-(計算式B)=(yの2乗)

ということで、ちょうどやりとりした数字の2乗分を足してやれば、ちょうど言い感じになるってわけですね。

「22×22」だったら、「(22+2)×20+(2×2)」つまり「480+4=484」。
「108×108」だったら、「(108+8)×100+(8×8)」つまり「11600+64=11664」。

といった感じになります。

2乗のかけ算以外にも使える

このおみやげ暗算法、2乗の計算式以外でも使えます。

たとえば「13×12」。

おみやげ暗算法のやりかたでやってみます。
一方の数字13に、もう一方の数字の1の位を足して10の位の数字を掛けて、
両方の1の位の数字を掛け合わせたものを足します。

つまりおみやげ暗算法のルールで式を書き換えるとこんな感じ。
「13×12=(13+2)×10+(3×2)=156」

10の位が1以外のかけ算

10の位が1以外の場合は、掛ける数字が大きくなってくるので
ちょっと複雑になってきます。
が、やることは同じです。

「34×31=(34+1)×30+(4×1)=1054」
「67×69=(67+9)×60+(7×9)=7800+63=4623」

1の位の和が10になる場合

掛け合わせる2つのふた桁の数字の1の位の和が10になる場合、
すこし計算が簡単になります。

いままでのおみやげ暗算法と同じ式で書くとこんな感じです。
「27×23=(27×3)×20+(7×3)」

足して10になる場合に限り、この式をさらに変形させてみます。
「27×23=(27×3)×20+(7×3)=30×20+(7×3)=(2+1)×2×100+(7×3)」

余計ややこしく分解された感じもしますが、コトバにするとこんな感じになります。
どういう風に展開されたかというと、
「掛け合わせる数字の10の位に1を足したものと、10の位を掛け、10の位どうしなのでさらに100を掛け合わせ、
 その数字に、1の位を掛け合わせたものを足す」

「27×23」で言うと
10の位の一方に1を足して、掛け合わせた数「3×2=」(A)に、
1の位どうしを掛け合わせた数「7×3=21」(B)を足して、

なので答えは「27×23=(3×2)×100+(7×3)=621」です。

ちゃんと数式を書く場合は、以上のように計算式を書くのですけど、
1の位を足して10になるふた桁かけ算の場合、もっとカンタンに答えを導き出せます。
(A)は必ず100倍されるので100の位以上の桁の数字に、そして(B)は下ふた桁の数字になります。

「41×49」の場合、100の位より上の桁は「5×4」で「20」
下二桁は「1×9」で「08」。
これを順番にならべて、こたえは「2009」と、さくっと導き出せます。

1の位が5同士の場合

1の位が足して10になる場合の特殊ケース、両方の1の位が5の場合です。
1の位どうしのかけ算が、常に「25」になるので、さらにカンタンになります。

冒頭で紹介した「35×35」が、実はこのケースです。

「35×35=(3+1)×3×100+5×5=1225」
「85×85=(9+1)×8+(5×5)=7225」

下二桁は必ず「25」になりますね。
その上の位には10の位の数字の計算結果がくることになります。

さらにすごい法則「分配の法則」

おみやげ暗算法でも、暗算が難しい場合があります。

たとえば、「78×78」。
おみやげ暗算法を使おうと思うと「(78+8)×70+(8×8)」となります。
「86×70」って、これすぐにはでてきません。ぼくの場合はですが。。。

そんな時使えるのが 分配の法則です。

「86×70」を分解して「(80+6)×7×10」とします。
「(80+6)×7」部分は分解すると、「(80×7)+(6×7)」となるので、これならば暗算でできそうです。

というわけで、おみやげ暗算法と分配の法則を使って、「78の2乗」を分解して計算すると…
「78×78={(80×7)+(6×7)}×10+(8×8)=6084

これくらいなら暗算でもなんとかいけなくもない…か。

分配の法則はあらゆる(ふた桁×ひと桁)の計算に使えるので便利です。
「87×7=(80+7)×7=(80×7)+(7×7)=560+49=609」とか
「53×9=(50+3)×9=(50×9)+(3×9)=450+27=467」みたいな感じです。

キリのいい数字から引き算する方法

続いては、引き算を簡単にする方法です。

たとえば「1000ー687」。
計算を簡単にするコツは「1000」を「999+1」と展開することです。

そうすると計算式は、
「999ー687+1」となりますね。答えは「313」となります。

ポイントとしては、引かれる側の数字と引く側の数字の桁数を揃えるところでしょうか。
繰り下がりを意識しない引き算ができるので、とてもラクチンです。

桁数が多くても、ちがっても

「100000ー58298」は「99999−58298+1=41702」
「10000−263」は「9999−263+1=9737」ですね。

まとめ

暗算を簡単にする法則、記事をポストするにあたって式の構造を見てみると、
複雑で難しそうな見た目も、ひもといていけばシンプルにできるもんなんだと思いました。

これってかけ算に限らず、普遍的に言えることなのかもしれません。
むずかしそうな問題も、実はひとつひとつの捉え方を変えてみたら
扱いやすい問題の集合体なのかも知れないですね。

計算がもっと得意になるテクニックはもっともっとあります。
今回の記事も「計算力の鍛え方」(小杉拓也/ダイヤモンド社)を参考に差せていただきました。ありがとうございます。

興味のある方は、ぜひ。
他にも34もの計算法則が紹介されています。
計算がつよいと地味にかっこいいです。

きょうはこんなところで、試合終了。

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